Skrypt przedmiotu
Notatki z całego semestru mocno się przydały do opracowania skryptu Analizy numerycznej na poziomie licencjackim i jest dostępny na moim GitHubie. Skrypt otrzymał taką opinię: “Skrypt ma charakter ,,nieformalny” i jest tam trochę ,,nieścisłości”, ale na pewno ten materiał przydałby się kolejnym rocznikom i bardzo by im pomógł.“. Śmiało więc z niego korzystaj – życzę sukcesów na egzaminie!
Notatki z wykładów
Tematy poruszane na wykładach zostawiam w tabelce na dole – dzięki temu w łatwy sposób odnajdziesz się w gąszczu wszystkich plików z Analizy numerycznej.
| Numer wykładu | Data wykładu | Poruszone tematy |
| 1 | 02/10/2019 | Wprowadzenie – ‘dziwne rzeczy’ |
| 2 | 09/10/2019 | Błąd względny i bezwzględny, reprezentacja liczb całkowitych i zmiennopozycyjnych, rodzaje zaokrągleń, działania arytmetyczne w świecie floatów, twierdzenie o kumulacji błędów, zjawisko utraty cyfr znaczących |
| 3 | 16/10/2019 | Uwarunkowanie zadania, wskaźnik uwarunkowania zadania, względna zmiana wyniku poprawność numeryczna algorytmów |
| 4 | 23/10/2019 | Rozwiązywanie równań nieliniowych – metody bisekcji, Newtona (stycznych), siecznych – ich interpretacje geometryczne oraz cechy, wykładnik zbieżności ciągu |
| 5 | 06/11/2019 | Interpolacja wielomianowa – postaci wielomianów: (naturalna) potęgowa, Newtona, Czebyszewa, algorytm Hornera, uogólniony algorytm Hornera, algorytm Clenshawa, interpolacja wielomianowa Lagrange’a |
| 6 | 13/11/2019 | Znajdowanie współczynników postaci Newtona (oraz ich jawny wzór), dodawanie kolejnych “obserwacji” w czasie $O(n)$, ilorazy różnicowe, błąd interpolacji, węzły równoodległe vs. węzły “Czebyszewa” |
| 7 | 20/11/2019 | Funkcje sklejane, naturalna interpolacyjna funkcja sklejana trzeciego stopnia (NIFS3), przykład naiwnego znajdowania NIFS3, szybsza konstrukcja NIFS3 ze złożonością czasową $O(n)$, wzór jednoznacznego wyznaczenia NIFS3, momenty funkcji, postać macierzowa “ulepszonego” układu równań (układ trójprzekątniowy) i algorytm rozwiązujący ten układ, zastosowania NIFS3 w grafice komputerowej: krzywe parametryczne, próbkowanie obrazu |
| 8 | 04/12/2019 | Krzywe Beziera – kombinacja barycentryczna/wypukła punktu, otoczka wypukła, wielomiany Bernsteina i ich własności, krzywa Beziera i jej własności, wyznaczanie punktu na krzywej Beziera – algorytm de Casteljau i jego interpretacja geometryczna |
| 9 | 11/12/2019 | Aproksymacja średniokwadratowa na zbiorze dyskretnym – idea aproksymacji, norma średniokwadratowa na zbiorze dyskretnym, własności normy, podobieństwo funkcji $f$ i $g$, element optymalny $w*$, przykłady aproksymacji dla funkcji stałych (średnia arytmetyczna), kwadratowych (o wierzchołku w $P(0,0)$, tzn. $ax^2$) oraz liniowej ($ax+b$) – znajdowanie ekstremów dla funkcji wielu zmiennych (pochodne cząstkowe, układ równań normalnych) |
| 10 | 18/12/2019 | Wielomianowa aproksymacja średniokwadratowa na zbiorze dyskretnym – dyskretny iloczyn skalarny funkcji na zbiorze $X$, ortogonalność funkcji, ortogonalizacja Grama-Schmidta, układ ortogonalny wielomianów generujących przestrzeń, ciąg wielomianów ortogonalnych, wzór jawny wielomianu optymalnego oraz błędu aproksymacji (oraz obserwacje), obliczanie wartości optymalnego wielomianu w punkcie – algorytm Clenshawa |
| 11 | 08/01/2020 | Kwadratury (całkowanie) – metody obliczania całek, obliczenie całki dla danej funkcji $f$ określonej na przedziale $[a,b]$, kwadratura liniowa, błąd (reszta) kwadratury, rząd kwadratury, wzór Simpsona, kwadratury interpolacyjne, kwadratura Newtona-Cotesa (równoodległe węzły), reszta kwadratury Newtona-Cotesa (twierdzenie), obliczenie reszty wzoru trapezów |
| 12 | 15/01/2020 | Kwadratury złożone, złożony wzór trapezów, złożony wzór Simpsona, metoda Romberga, tablica Romberga, kwadratury Gaussa, wielomiany Legandre’a, kwadratury Gaussa-Legandre’a |
| 13 | 22/01/2020 | Algorytmy numeryczne algebry liniowej – krótka powtórka z algebry (macierze), układy równań liniowych, wzory Cramera, rozwiązywanie układów równań o macierzy trójkątnej dolnej (górnej), metoda faktoryzacji rozwiązywania układów równań liniowych, rozkład trójkątny ($LU$) macierzy |