Analiza Numeryczna L

Poniższe notatki posłużyły mi do napisania skryptu ANL 2019/2020.

Wykład 01 (02/10/2019), Lista zadań, Rozwiązania - wprowadzenie - 'dziwne rzeczy'
Wykład 02 (09/10/2019), Lista zadań, Rozwiązania - błąd względny i bezwzględny, reprezentacja liczb całkowitych i zmiennopozycyjnych, rodzaje zaokrągleń, działania arytmetyczne w świecie floatów, twierdzenie o kumulacji błędów, zjawisko utraty cyfr znaczących
Wykład 03 (16/10/2019), Lista zadań, Rozwiązania - uwarunkowanie zadania, wskaźnik uwarunkowania zadania, względna zmiana wyniku poprawność numeryczna algorytmów
Wykład 04 (23/10/2019), Lista zadań, Rozwiązania - rozwiązywanie równań nieliniowych - metody bisekcji, Newtona (stycznych), siecznych - ich interpretacje geometryczne oraz cechy, wykładnik zbieżności ciągu
Wykład 05 (06/11/2019), Lista zadań, Rozwiązania - interpolacja wielomianowa - postaci wielomianów: (naturalna) potęgowa, Newtona, Czebyszewa, algorytm Hornera, uogólniony algorytm Hornera, algorytm Clenshawa, interpolacja wielomianowa Lagrange'a
Wykład 06 (13/11/2019), Lista zadań, Rozwiązania - znajdowanie współczynników postaci Newtona (oraz ich jawny wzór), dodawanie kolejnych "obserwacji" w czasie O(n), ilorazy różnicowe, błąd interpolacji, węzły równoodległe vs. węzły "Czebyszewa"
Wykład 07 (20/11/2019), Lista zadań, Rozwiązania - funkcje sklejane, naturalna interpolacyjna funkcja sklejana trzeciego stopnia (NIFS3), przykład naiwnego znajdowania NIFS3, szybsza konstrukcja NIFS3 ze złożonością czasową O(n), wzór jednoznacznego wyznaczenia NIFS3, momenty funkcji, postać macierzowa "ulepszonego" układu równań (układ trójprzekątniowy) i algorytm rozwiązujący ten układ, zastosowania NIFS3 w grafice komputerowej: krzywe parametryczne, próbkowanie obrazu
Wykład 08 (04/12/2019) + Slajdy, Lista zadań, Rozwiązania - krzywe Beziera - kombinacja barycentryczna/wypukła punktu, otoczka wypukła, wielomiany Bernsteina i ich własności, krzywa Beziera i jej własności, wyznaczanie punktu na krzywej Beziera - algorytm de Casteljau i jego interpretacja geometryczna
Wykład 09 (11/12/2019), Lista zadań, Rozwiązania - aproksymacja średniokwadratowa na zbiorze dyskretnym - idea aproksymacji, norma średniokwadratowa na zbiorze dyskretnym, własności normy, podobieństwo funkcji f i g, element optymalny w*, przykłady aproksymacji dla funkcji stałych (średnia arytmetyczna), kwadratowych (o wierzchołku w P(0,0), tzn. ax2) oraz liniowej (ax+b) - znajdowanie ekstremów dla funkcji wielu zmiennych (pochodne cząstkowe, układ równań normalnych)
Wykład 10 (18/12/2019), Lista zadań, Rozwiązania + wskazówki do zadań 4-7 - wielomianowa aproksymacja średniokwadratowa na zbiorze dyskretnym - dyskretny iloczyn skalarny funkcji na zbiorze X, ortogonalność funkcji, ortogonalizacja Grama-Schmidta, układ ortogonalny wielomianów generujących przestrzeń, ciąg wielomianów ortogonalnych, wzór jawny wielomianu optymalnego oraz błędu aproksymacji (oraz obserwacje), obliczanie wartości optymalnego wielomianu w punkcie - algorytm Clenshawa
Wykład 11 (08/01/2020), Lista zadań, Rozwiązania - kwadratury (całkowanie) - metody obliczania całek, obliczenie całki dla danej funkcji f określonej na przedziale [a,b], kwadratura liniowa, błąd (reszta) kwadratury, rząd kwadratury, wzór Simpsona, kwadratury interpolacyjne, kwadratura Newtona-Cotesa (równoodległe węzły), reszta kwadratury Newtona-Cotesa (twierdzenie), obliczenie reszty wzoru trapezów
Wykład 12 (15/01/2020), Lista zadań, Rozwiązania - kwadratury złożone, złożony wzór trapezów, złożony wzór Simpsona, metoda Romberga, tablica Romberga, kwadratury Gaussa, wielomiany Legandre'a, kwadratury Gaussa-Legandre'a
Wykład 13 (22/01/2020), Lista zadań - algorytmy numeryczne algebry liniowej - krótka powtórka z algebry (macierze), układy równań liniowych, wzory Cramera, rozwiązywanie układów równań o macierzy trójkątnej dolnej (górnej), metoda faktoryzacji rozwiązywania układów równań liniowych, rozkład trójkątny (LU) macierzy

Zadania z kolokwium